متى يتضاعف مالي؟

كم سنة يحتاجها رصيدك حتى يصير ضِعفين عند عائد معيّن، وما تقوله قاعدة 72 بدلًا من ذلك، وكم يبعد الرقمان أحدهما عن الآخر. يضاعف الرقم لا ما يشتريه الرقم، والاثنان يفترقان سريعًا حيث ترتفع الأسعار، وهو رصيد واحد متروك لنفسه، لا رصيد يُضاف إليه.

• قاعدة 72 تقريب لا حساب. تكون أقرب ما تكون عند معدّلات قريبة من 8%، وتتّسع الفجوة كلما ابتعدت عنها.

بمعدّل 6.0% في السنة يصير 50,000 ضعفين بعد 11.9 سنة. قاعدة 72 تقول 12.0، وهي أطول بمقدار 0.1، بافتراض ثبات العائد كلّ سنة.

الرصيد ينمو بالنسبة نفسها كلّ سنة، فالسنة التي يبلغ فيها ضِعف حجمه هي السنة التي يبلغ فيها معامل التراكم اثنين. وهذا يعطي لو 2 ÷ لو (1 + العائد)، حيث «لو» اللوغاريتم الطبيعي. وهو دقيق، ولا يتبع شيئًا غير المعدّل، والمبلغ الذي تبدأ به لا يدخله أصلًا.

وقاعدة 72 هي الصيغة التي يحملها الجميع بدلًا عنه: اقسم 72 على المعدّل بوصفه نسبة مئوية. وهي باقية لأنّها حساب تؤدّيه وأحدهم ما زال يتكلّم، ولأنّها قريبة بما يكفي لتكون نافعة في وسط النطاق. وأقرب ما تكون بين 8% و10% تقريبًا — فبخطوات نصف النقطة يطبع الرقمان الخانة العشرية نفسها عند 7.5 و8 و8.5 و9 و9.5 و10.5، ويختلفان بعُشر سنة عند 10، لأنّ كليهما يُقرَّب قبل أن يُقارَنا. ودون ذلك النطاق تعطي مدة أطول: عند 1% تقول 72 سنة مقابل 69.7 حقيقية. وفوقه تعطي مدة أقصر: عند 30% تقول 2.4 مقابل 2.6.

والفجوة على البطاقة هي طرح الرقمين المطبوعين فوقها، لا طرح العددين خلفهما. فعند 7% يكون الفارق الكامن أربعة أجزاء من مئة من السنة، وهو ما يُطبع 0.0 بجوار اختصار 10.3 وزمن مضاعفة 10.2 — بطاقة تناقض طرح قارئها نفسه. وأخذها من المطبوع هو ما يجعل الرقم الثالث قابلًا للمراجعة.

وعند معدّل صفر أو دونه لا يوجد زمن مضاعفة. فلا شيء يُضرب في واحد مرارًا فيبلغ اثنين، وقسمة 72 على صفر ليست عددًا، فيطبع الرقمان والفجوة بينهما لا شيء بدل لانهاية.

عدد السنوات = لو 2 ÷ لو (1 + العائد)

«لو» هو اللوغاريتم الطبيعي، والعائد هو العائد السنوي بالكسر العشري. وقاعدة 72 هي 72 مقسومة على المعدّل نفسه مكتوبًا نسبة مئوية.

مثال محسوب

بمعدّل 6% في السنة يتضاعف المال بعد 11.9 سنة، وتقول قاعدة 72 اثنتي عشرة — أي أطول بعُشر سنة. وعند 8% يقع الرقمان على الرقم نفسه، 9.0. وعند 1% يكون الاختصار أطول بـ2.3 سنة، وعند 30% أقصر بـ0.2.

ما الذي تفترضه

• العائد نفسه في كلّ سنة ويتراكم مرّة في السنة. وسنتان بمعدّل 12% وسنتان بلا شيء ليستا أربع سنوات بمعدّل 6%، بل تحتاجان مدة أطول للمضاعفة.
• المبلغ لا يدخل الجواب. فالرقم في الأعلى نفسه لخمسمئة ولخمسة ملايين — وهو هنا ليكون للصورة مقياس، وسحبه يغيّر ارتفاع الأعمدة ولا شيء غير ذلك.
• الضريبة والرسوم غير محسوبة. وحيث تنطبق فإنّها تُخصم من العائد قبل أن يبدأ هذا الحساب، وتصير المضاعفة أطول من الرقم هنا.